Primzahlen - Transformation von Raum und Zeit

Transformationen von Raum und Zeit

Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist Er nicht.
Albert Einstein

Die rigorose statistische Analyse großer Datenmengen wurde überhaupt erst mit der Entwicklung der Computer möglich. Dank dieses quantitativen Fortschritts gelang nicht nur die Überprüfung bislang nicht überprüfbarer Hypothesen. Er brachte auch eine qualitative Weitung der Einsichten mit sich. Prinzipien, die sich als lächerlich erweisen würden, wendete man sie auf kleine Größenordnungen an (und die deshalb nur denkbar waren), konnten sich, wenn man mit großen Quantitäten an sie heranging, als möglich und wichtig erweisen. So war es beispielsweise auch mit der Entdeckung neuer Arten von Mustern, die »chaotisch« genannt wurden. Obwohl sich von ihnen keine Regeln ableiten lassen und sie ziemlich »fuzzy« sind, lassen sich auch bei ihnen, große Zahlen vorausgesetzt, bestimmte Ordnungen entdecken. Visualisierungen großer Mengen von Untersuchungsdaten mit Hilfe des Computers zeigen dieses Phänomen in besonders auffälliger Weise -- das ist ein wenig so, als wenn man auf eine Million winziger Punkte blinzelt und dann erkennt, daß sie ein Porträt bilden --, und das hat zu ganz erstaunlichen Fortschritten geführt.

So fallen beispielsweise die ersten sieben Primzahlen unter kein spezielles Muster. Sie sehen vollkommen zufällig aus. (Primzahlen sind bekanntlich solche Zahlen, die kein Produkt ganzer Zahlen außer 1 und sich selbst sind. Auf diese Weise sind 2, 3, 5, 7... Primzahlen, 6 aber nicht, weil es das Produkt von 2 x 3 ist.) Tatsächlich war bisher noch niemand imstande, eine Formel zu erarbeiten, nach der sich jede Primzahl ermitteln ließe. Und dennoch zeigen sich seltsame Muster; wenn man sich nur einmal genug dieser Primzahlen ansieht.

Eines der eigenartigsten ist das folgende. Es illustriert nebenbei auch noch zwei andere Prinzipien, die sich bei der Code-Forschung ergeben haben, aber von Doron Witztum und Eliyahu Rips erst in den Anfängen erkannt wurden: erstens daß der »Raum«, in den die Kodierungen eingebettet sind, grundsätzlich keine lineare Kette von Text darstellt, der nur der Einfachheit und Bequemlichkeit halber in verschieden lange Zeilen unterteilt ist, sondern tatsächlich prinzipiell zweidimensional; zweitens daß dieser Raum dehnbar ist und in ihm mögliche verschieden lange Zeilen eine entscheidende Rolle bei der Formung des »Raumes« und der Enthüllung der Kodierungen spielen
Wir sollten festhalten, daß dies schlagende Analogien zu fundamentalen Prinzipien der modernen Physik sind, speziell der Relativitätstheorie. Auch diese sieht den »Raum« ja als mit einander gegenseitig durchdringenden und höheren Dimensionen als den vertrauten drei ausgestattet und als »dehnbar«. (Es bedurfte sogar ausdrücklich Einsteins Relativitätstheorie, damit wir die vier dimensionale Struktur des Raumes, in dem wir leben, begriffen, obwohl schon die Kabbalisten dies aus der Genesis gelernt hatten; siehe Technischer Anhang A.) Viele Lösungen schwieriger Probleme der Physik und zahlreiche fundametitale Prinzipien des Universums treten überhaupt erst zutage, wenn sie im vierdimensionalen »Raum-Zeit-Kontinuum«, das eine (mathematische) Dehnung erfuhr; untersucht werden.

Was nun die Primzahlen angeht, so ergibt sich die folgende Analogie. Betrachten wir zunächst die der Übersichtlichkeit hal ber in einem Zehn-zu-Zehn-Gitter untergebrachten Primzahlen bis 100:

Ein paar mögliche Muster lassen sich erkennen, einige davon sind kurios, andere trivial. Von den insgesamt 25 Zahlen haben sich zum Beispiel 15 Paare in Zweierabständen gebildet (in der Zahlentheorje »Zwillinge« genannt). Dieses Phänomen tritt kontinuierlich auch weiter auf, so weit, wie bisher Primzahlen überhaupt gezählt wurden. Doch niemand weiß, warum, und niemand kann voraussagen, wo sie erscheinen (sie erscheinen oft, aber nicht irgendwie systematisch), und niemand kann je beweisen, daß dies bei irgend einer unglaublich hohen Zahl ein Ende nimmt.
Noch ein weiteres Phänomen gibt es, das zwar auf den ersten Blick als offensichtlich erscheint, sich dann jedoch als ziemlich knifflig herausstellt. Beachten wir; daß selbst in dieser kurzen Liste die aufsteigende Anzahl der Primzahlen in einem festgelegten Abstand kleiner zu werden scheint, wenn auch nur statistisch und noch nicht infolge einer festen Regel. Das nächste Diagramm zeigt uns, wie viele Primzahlen in jeder Reihe vorkommen; diese Anzahl scheint stetig abzunehmen:

Dies setzt sich fort, egal, wie groß die Zahlen sind, und ergibt, daß, je höher, desto mehr Primzahlen »passiert« werden, die Faktoren für noch größere Zahlen sein können. Folglich vergrößern sich die Abstände der Primzahlen immer mehr - im Durchschnitt.
Die Frage stellt sich also, ob es tatsächlich eine Art Muster für die »Rate« gibt, nach der die Abstände sich vergrößern. In der Tat vergrößert sich der Durchschnittsabstand, doch zunehmend immer langsamer. Der Durchschnittsabstand zwischen den Primzahlen nähert sich kontinuierlich der absoluten Minimaldistanz, die er freilich niemals zu erreichen scheint. (* Er nähert sich diesem Wert »asymptomatisch«.) Nun wissen wir aber schon, daß es keine präzise Formel gibt, nach der ein Muster zwangsläufig erscheinen muß (weil es ja offensichtlich keine Formel für die Primzahlen gibt). Aber vielleicht existiert ja eine »fuzzy«-Grenzregel, die wir beschreiben könnten und die sich aus den sich vergrößernden Entfernungen zwischen ihnen ergäbe.
Daß der Durchschnittsabstand zwischen den Primzahlen sich zunehmend erhöht, legt die Überlegung nahe, daß man nach einer »Transformation« der »eindimensionalen« Zahlenreihe (»ein linearer Raum«) suchen könnte, welche dies evident machte. (Beachten wir aber: Auch wenn wir die ersten Primzahlen bis 100 in einem Zehn-zu-Zehn-Kästchengitter anordnen, geschieht dies lediglich aus praktischen Gründen. Tatsächlich handelt es sich nur um eine Kette. Wenn wir es uns jedoch als eine elementare Transformation denken, dann ist es eine, die die »Zwillinge« besonders deutlich macht, weil diese dann immer innerhalb senkrechter Spalten verschiedener Zeilenlängen auftauchen.) Eine Möglichkeit wäre auch, alle Zahlen als Sequenz auf eine Zeile zu schreiben, sie aber mit sich steigerndem Wert immer enger aneinander zurücken:

1 2 3 4 5 6 7 8910

Auch dies würde die Entfernungen auf dem Papier zwischen den Primzahlen allmählich verringern und die räumliche Ausdehnung kompensieren. Wenn man die Papierdistanz, einer Regel folgend, verringerte, könnte man vielleicht eine statistische (angenäherte, »fuzzy«) Ordnung für die Primzahlenabstände erzielen. (Das ist auch gemacht worden.)
Aber es gibt noch eine elegantere Transformation, die dieses Prinzip der »sich vergrößernden Entfernungen« im »eindimensionalen Raum« direkt auf einen Raum abbildend überträgt, und zwar mit einer zusätzlichen Dimension, nämlich einer echt zweidimensionalen Anordnung von Zahlen, die nicht zusammengezogen werden muß. Die Methode dafür ist die Spirale ganzer Zahlen:

Diese Transformation behält die lineare Distanz zwischen den Zahlen bei, vergrößert aber doch (vereinfacht ausgedrückt) jede Zeilenlänge und dreht diese dabei um 90 Grad durch die zweite
Dimension. Nunmehr sind die Primzahlen in der sogenannten "Ulam-Spirale" (Ulam war ein Mathematiker; der im Zweiten Weltkrieg mit John von Neumann bei der Entwicklung der »Monte-Carlo«-Simulationsmethode zusammenarbeitete) so verteilt:

Dabei taucht noch etwas - möglicherweise- Kurioses auf. Es scheint hier nun eine große Anzahl kontinuierlich diagonaler Ket ten zu geben. Ihre Menge reicht allerdings nicht aus, damit wir sicher sagen könnten, es ist kein Zufall. Wir können dies zwar hypothetisch annehmen, doch damit es überzeugend würde, müßten wir uns schon mehr Zahlen ansehen. Also hier nun die gleiche Spirale, aber mit den Primzahlen bis 1000 (952, genau gesagt):

Die Tendenz, daß die Primzahlen diagonale Ketten bilden, erscheint hier schon erheblich deutlicher zu sein, wenn wir uns zurückbeugen und blinzeln (zwecks größerer Verdeutlichung der "fuzziness"). Wenn es uns Spaß macht, können wir versuchen, das Phänomen mathematisch zu quantifizieren, indem wir auszählen, wie viele Primzahlen zu einer Diagonalkette gehören und wie viele nicht. Was natürlich auch erfordern würde, daß wir festlegen, was als »Kette« zu gelten habe: schon zwei? Erst drei? Zehn? Kein Zweifel, je strenger die Kriterien dafür, desto mehr müßte das Phänomen »sich selbst erklären«, um durchzugehen. Indessen können wir intuitiv - das heißt visuell - ziemlich sicher sein, daß es sich da tatsächlich um ein »Muster« handelt. (Auch wenn wir ihr Vorhandensein nicht beweisen können: Unsere Gehirnkapazität zur Entdeckung von Mustern ist ziemlich phänomenal.) Ob sich dies fortsetzen wird, je höhere Werte die Zahlen annehmen, wissen wir noch nicht. (Genausowenig wie wir wissen, warum es die »Zwillinge« gibt und ob sie irgendwann aufhören.) Aber es wäre, allein auf der Basis unseres Beispiels oben mit den Zahlen bis 1000, gar nicht unlogisch anzunehmen, daß das Phänomen sich fortsetzt, wir also die Probe aufs Exempel machten und das Ergebnis, wenn irgend möglich, statistisch auswerteten und damit feststellten, wie groß die Chance ist zu entdecken, alles sei einfach nur Zufall.
Je größer man die Spirale macht - stellt sich tatsächlich heraus -, desto mehr bestätigt sich die Tendenz zu den Diagonalketten und wird damit immer deutlicher. Dennoch aber fügt sich das Phänomen am Ende nicht in eine feststehende Routine ein. Es bleibt »fuzzy« und unvorhersehbar; vom generellen Trend abgesehen.

Die Spirale bis hinauf zu 40 000:

Und hier alle Primzahlen von 1 bis 160000:

Wenn wir ganz genau hinsehen, entdecken wir weitere Seltsamkeiten. So unpräzise und »fuzzy« sie auch sein mögen, gleichwohl gibt es hier diagonale Ketten (in beiden Richtungen), die allem Anschein nach ziemlich gleichmäßige Abstände einhalten, wenn auch nicht ganz perfekt. Schauen wir noch genauer hin, so sehen wir weiter; daß »dieselben« Ketten, die irgendwo ganz unvorhersehbar abbrechen, sich etwas später wieder fortsetzen. Außerdem gibt es vertikale und horizontale Ketten und darunter eine speziell scharfe, die das »tote« Zentrum a »+« bildet. Und noch schwieriger zu entdecken, noch »fuzzier«, aber offensichtlich vorhanden sind Linien, die +- 20 Grad zur Horizontalen verlaufen. Weiter gibt es Bereiche, die Teilkreise, und andere, die kleine, dichte Bündelungen bilden. Daß dies alles sichtbar wird, erfordert eben, um es zu entdecken, eine sehr viel größere Menge Primzahlen als zuvor. Und vergessen wir nicht: Alle diese Muster erscheinen erst in der zweidimensionalen Darstellung, wobei »nahe« Teile desselben Musters sich aus Primzahlen bilden, die in der linearen Folge weit voneinander entfernt sind. (Man stelle sich nur einmal vor; wie schwierig es wäre, ein zweidimensionales Teppichmuster zu erstellen, wenn man die verschiedenen Farbpunkte als Sequenz auf einem einzigen Gamfaden anzeichnen müßte! Auch Teppichmuster sind nur möglich, weil der Gestalter die [Faden-] Kette als zweidimensionale Einheit »sieht«.)
Aber vielleicht am allererstaunlichsten an diesen Mustern ist, daß niemand erklären kann, wie oder warum sie sich ergeben. Wie »fuzzy« auch immer; die Struktur ist statistisch eindeutig, und sie weist auf eine darunterliegende Ordnung hin, deren Natur, zumindest noch gegenwärtig, äußerst mysteriös ist. Setzt sie sich etwa endlos fort? Es ist das gleiche wie bei den »Zwillingen«:
Niemand weiß es. Wir wissen allerdings, daß sich die Musterbildung bis zu den höchsten bisher festgestellten Primzahlen fortsetzt (im November 1996 war dies die Zahl 2^1398269 - 1; das ist 1398269 mal 2x2x2x2 ... minus 1.) [ Diese Zahl, die sogenannte 35. Mersenne-Primzahl, erforderte die gemeinsamen Anstrengungen von 700 Leuten am Internet zur Feststellung und Bestätigung als Primzahl. Aber natürlich hätten selbst die Bienenfleißigsten ihre Mühe, mit dieser Zahl irgend etwas anzufangen. Sie hat eine runde halbe Million Stellen, und sie allein auszuschreiben, bedürfte es eines Buches von 250 Seiten.]
Und schließlich noch: Der Strukturierungsgrad ist größer und komplexer; als das menschliche Auge zu entdecken vermag. Man kann Sätze festgelegter Regeln auf jeden beliebigen Punkt anwenden, die das Bild noch weiter mathematisch transformieren, und damit sogar noch subtilere Ordnungskategorien sichtbar machen. (Die Primzahlen spiralförmig zu schreiben ist eine Transformation - auch zuweilen als »kartographieren« bezeichnet -, eine weitere ist die »Schwarzweißschreibung«: weiß = Primzahl, schwarz = Nichtprimzahl. Solche Regeln können aber keine Ordnung ergeben, wenn ohnehin keine vorhanden ist; sie können jedoch diese Ordnung wie durch eine Lupe vergrößert deutlicher zeigen und dabei die »fuzziness« vermindern: »aus Geräusch das Signal extrahieren«.)
Die Ulam-Spirale läßt sich mithin in das folgende Bild transformieren, das eine wirklich schöne Struktur ergibt (mit allen Primzahlen von 1 bis 264144).

Die folgenden Punkte, die in der einfachen Ulam-Spirale nicht sichtbar wurden (oder sich bestenfalls erahnen ließen), stellen sich hier heraus:

Nicht nur zeigt sich eine Tendenz der Primzahlen, sich in 45- Grad- und 45-Grad-paralleldiagonalen Bündelungen zu ordnen, sondern sie sind auch an den vier Ecken der Anordnung höher (oder zumindest anders) strukturiert. (Das gleiche Phänomen tritt auf, wenn die Spirale kreisförmig ist statt rechteckig.) Warum statt der drei oder fünf Strahlen in gleichförmigen Abständen diese vier Richtungen favorisiert werden, bleibt äußerst mysteriös.
Die variierende Dichte von Primzahlen in der Ulam-Spiralform ergibt komplexe Strukturen in vielen Symmetrieachsen. Einige davon sind örtlich begrenzt (Kreise und andere symmetrische Formen) und bilden Teile größerer »Supersymmetrien«.
Die Gesamtstruktur erscheint als »Fraktal« mit rückläufigen, aber dennoch »fuzzy«-Symmetrien auf immer größeren Ebenen. Dies stimmt überein mit den meisten neuen Entdeckungen der Quantenmechanik, bei denen es inzwischen den Anschein hat, als folgten die Energieebenen einer ungefähren Primzahl verteilung, wobei sie dennoch als »chaotisch« dargestellt werden können. (Chaotische Muster und Fraktalmuster stehen eng miteinander in Beziehung.) Gleichwohl weiß auch in diesem Fall niemand, warum dies so ist.

Eine weitere Transformation bringt die Diagonalsymmetrien noch deutlicher zum Vorschein, indem sie die anderen zurückdrängt. Sie bestätigt auch das Vorhandensein radialer Symmetrien in Winkelgraden, die nicht horizontal, vertikal oder diagonal stehen:

Das Vorhandensein einer zweidimensionalen Ordnung impliziert, daß da etwas an der Ortsplazierung der Primzahlen geordnet sein muß, der eindimensionalen Sequenz realer Zahlen folgend. Viele Jahre lang galt, daß die Abstände der Primzahlen reiner Zufall waren, weil keine lineare Ordnung zu entdecken war. In jüngster Zeit indessen zeigte ein Physiker; der Ähnliches bei den Abständen von Energiequanten in großen Atomen herausfand, eine darunterliegende Ordnung der Abstände zweiten und dritten Grades auf (Abstände der Abstände, Abstände der Abstände der Abstände). Zusammengefaßt: Die Quantifizierungsebenen von Energie und die Verteilung der Primzahlen folgen aus mysteriösen Gründen den gleichen Regeln, und beide in »chaotischen« Anordnungen

Etwa um die Zeit, da Eliyahu Rips in die kniffligeren Bereiche der Thora-Dekodierung vorstieß, vollendete Witztum seine Dissertation über die allgemeine Relativität und wandte seine Aufmerksamkeit den Kodierungen zu. Wie vor ihm auch schon andere Wissenschaftler besaß er die erforderlichen kritischen Fähigkeiten zu sehen, daß da etwas ganz Außergewöhnliches sein könnte. In Fortsetzung der bisherigen Arbeiten, führte er nun die Untersuchungen auf eine noch differenziertere und komplexere Höhe. Er behandelte den Text der Thora nicht einfach als kryptographische Buchstabenkette, sondern als eine inhärent zweidimensionale Struktur; deren »Achsen« (vertikale Messung = Anzahl der Reihen, horizontale Messung = Zeilenlänge) zueinander konvertibel waren. In der Physik besteht jede Messung aus den dreiräumlichen Ausdehnungen und der zeitlichen Dauer. Aber wenn man das »Bezugssystem« ändert (das heißt die eigene Geschwindigkeit erhöht), dann schwindet die räumliche Ausdehnung (in der Reiserichtung) ein wenig, und die temporäre Dauer wächst in derselben Relation. (Stellen wir uns einen Pappkarton vor; der langsam zusammengedrückt wird: Mit abnehmender Höhe nimmt seine Breite zu, und bei der Raumverringerung vergeht Zeit.)
Später gab Witztum, sich auf Einsteins Spuren bewegend, seinem ersten Buch über die Codes den Titel Die ergänzte Dimension. Seine Einsichten waren kühn, aber scharfsichtig. Sie vereinigten und quantifizierten eine große Anzahl Hinweise auf die verborgenen Texte der Thora, die sich bereits gezeigt hatten. Da mit gelangte Witztum zu Resultaten, die eindrucksvoll waren und außerdem so beschaffen, daß sie sich statistisch nachprüfen ließen. Und er legte nicht nur ein Ergebnis vor oder eine Hand voll, sondern Hunderte. Seine Methode umfaßte zunächst diese drei Prinzipien: erstens die Beziehungen zwischen den einzelnen Wörtern, zweitens die minimalen oder fast minimalen Überspringungs-Entfernungen zwischen den Buchstaben der einbeziehungsweise dekodierten Wörter und drittens die minimale oder fast minimale Textmenge, innerhalb deren sich Wörter häufen. Es kam dann aber noch ein viertes Prinzip hinzu: die Transformation linearen Textes in einen veränderbaren »zweidimensionalen Raum«, wobei dann bestimmte Konfigurationen die verborgene Struktur offenlegen. (Rabbi Weissmandl hatte natürlich mit seinen eigenen Anordnungen, für die er ganz willkürlich die Zehn-zu-Zehn-Gitterkästchenform festlegte, bereits die ersten Grundlagen für diese Methode gelegt.) Die unter Prinzip drei erwähnte »minimale oder fast minimale« Textmenge nimmt deshalb eine etwas allgemeinere Form an: Nicht die Textmenge in einer linearen Kette zählt, sondern die kleinste Menge Text in einer verformbaren zweidimensionalen Anordnung, die das kodierte Wort enthält.
Die Quintessenz der Relativitätstheorie ist die Entdeckung, daß selbst wenn Dinge uns in verschiedenen Bezugssystemen verschieden erscheinen, »die ihnen zugrundeliegenden Naturgesetze [die Regeln über die Beziehungen der Bestandteile des Universums zueinande] in allen Bezugssystemen dieselben bleiben«. Und die Code-Forscher fanden die folgende Analogie zur Relativität:
Wörter in der Thora scheinen in einem echten zweidimensionalen, verformbaren Raum einkodiert zu sein, in der Weise, daß die Regeln über die Beziehungen beliebiger zweier Wörter zueinander dieselben sind, ganz gleich, wie der Text deformiert, das heißt in variierenden Zeilenlängen dargestellt wird.